Serie di Fibonacci


Leonardo Pisano, detto Fibonacci visse fra il XII e il XIII secolo. Era figlio di un impiegato della Repubblica Pisana di nome Bonaccio da cui l’appellativo “filius Bonaccii” = Fibonacci. Fece lunghi viaggi in Oriente entrando in contatto, per il tramite degli arabi, con la matematica indiana. Le sole date certe della sua vita riguardano la stesura delle due opere principali: il 1202 per il Liber abaci, o “Libro del calcolo” e il 1220 per la Practica geometriae un testo che solo molto più tardi i matematici si dimostrarono capaci di comprendere e di approfondirne il contenuto.

Attraverso il Liber abaci, il cui nome trae in inganno in quanto non si tratta dell’abaco, cioè del modo tradizionale di calcolare, ma della trattazione di una numerazione che erroneamente l’autore chiamò araba, mentre si trattava di cifre indiane. Vi sono esposti i precursori del sistema attuale, che impiega solo dieci cifre, da 0 a 9, per rappresentare tutti i numeri possibili. Quest’opera ebbe notevole importanza per il risveglio scientifico che a poco a poco doveva operarsi in Occidente.

Il re di Sicilia Federico II forse per curiosità, o forse per amore della scienza, indisse un interessante torneo matematico. Dell’organizzazione fu incaricato il maestro di corte Giovanni da Palermo che propose al migliore matematico dell’epoca, appunto il Fibonacci, il famoso problema dei conigli. Si trattava di calcolare quante coppie di conigli verrebbero prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna di esse avesse dato alla luce una nuova coppia che diventerebbe produttiva a partire dal mese successivo. Questo problema darà origine alla cosiddetta “serie di Fibonacci”.

Il matematico pisano ragionò nel modo seguente: alla fine del primo mese si ha la prima coppia e una coppia da questa generata; alla fine del secondo mese si aggiunge una terza coppia, ma vi sono due coppie in più, perché anche la seconda coppia ha cominciato a generare, e così via. Continuando un passo dopo l’altro si ottiene la seguente successione:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Qui ogni termine dopo il secondo è la somma dei due precedenti. Quindi la risposta alla domanda originale è 377.

La serie di numeri scritta sopra porta alla successione di Fibonacci. La convenzione moderna più usuale consiste nell’anteporre i numeri 0 e 1 ottenendo:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …

La serie, che normalmente esclude lo zero iniziale, possiede alcune proprietà interessanti come ad esempio quella di mostrare che due termini successivi qualsiasi sono primi fra loro e inoltre contiene in sé un valore numerico che prende il nome di “sezione aurea” (o numero aureo) di un segmento.

Spieghiamo di cosa si tratta con un esempio. Lo scrivente è alto un metro e ottanta. A che altezza dal suolo si trova il suo ombelico? Alcuni scienziati credono che le proporzioni umane si basino sulla sezione aurea: in tal caso l’ombelico dividerebbe la statura di un individuo esattamente nella sezione aurea. Qual è questa altezza nel mio caso? Prima di calcolarla serve una precisazione.

Un punto divide un segmento nella sezione aurea quando il rapporto fra l’intero segmento e la sua parte maggiore è identico al rapporto fra la parte maggiore e quella minore. Un segmento lungo ad esempio 100 centimetri è diviso in due parti dal punto aureo se l’una è lunga 62 cm e l’altra 38 cm. E difatti il rapporto 100/62 equivale pressappoco al rapporto 62/38.

Calcolando il rapporto con maggiore precisione si ottiene:

(√ 5 – 1) / 2 = 0,618… che corrisponde pertanto circa al 61,8% del segmento totale.

Nel nostro esempio, se moltiplichiamo la mia altezza di un metro e ottanta per 0,618 si ottiene esattamente 1,1124 quindi il mio ombelico si trova a poco più di un metro e dieci centimetri da terra. Ho provato a verificare e in effetti la misura è risultata precisa al centimetro.

Il concetto di sezione aurea risale ai greci ed è stato utilizzato soprattutto nel Rinascimento, periodo in cui era posta in particolare risalto la grande armonia di proporzioni tra il segmento e la sua sezione aurea o la parte residua. Ad esempio il rettangolo aureo è il rettangolo che ha un lato che è la sezione aurea dell’altro lato.

La sezione aurea, venne scoperta un po’ dappertutto. In natura, nel guscio a spirale del nautilus. La forma di questa bella conchiglia è un tipo di spirale detto spirale logaritmica, in cui la distanza di ogni spira da quella successiva è in rapporto costante con la distanza dalla precedente. La sezione aurea si ritrova anche nelle fluorescenze dei girasoli e nella fillotassi, ossia nella disposizio­ne delle foglie lungo il ramo in modo che ciascuna di esse non faccia ombra a quella che è disposta sotto, ma soprattutto nell’arte. Più un’opera d’arte era bella e conosciuta più al suo interno si ricercava e spesso si trovava la sezione aurea. Il Partenone dell’Acropoli di Atene ad esempio presenta il rapporto fra altezza e larghezza che corrisponde esattamente alla sezione aurea. Essa fu rintracciata anche nella Piramide di Cheope, nel Duomo di Fi­renze, nelle opere del famoso pittore e matematico tedesco Albrecht Dürer (1471-1528) e naturalmente, non poteva mancare, nella Gioconda.

La cosa sorprendente è che da tutti questi artisti non è giunta nemmeno una parola in grado di provare che conoscessero o addirittura facessero uso della sezione aurea. Solo di recente l’architetto, urbanista e designer svizzero naturalizzato francese Le Corbusier pseu­donimo di Charles-Eduard Jeanneret-Gris (1887-1965) tratta l’argomento. Egli fu il primo a sostenere che l’anatomia dell’uomo si basava sulla sezione aurea ed essendo convinto che le case e i mo­bili dovessero corrispondere alle proporzioni umane, giunse alla conclusione che anche le case e i mobili si sarebbero dovuti costruire in base alla sezione aurea.

Prof. Antonio Vecchia

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