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MASSA E PESO

    Nel linguaggio comune si confonde facilmente massa e peso pensando che siano la stessa cosa, mentre si tratta di grandezze fisiche assolutamente indipendenti. Ciò che trae in inganno è la constatazione che un corpo “grosso” ha una grande massa, ma anche un grande peso. Ritenere che massa e peso siano la stessa cosa è quindi sbagliato ma, da un punto di vista pratico, non ne derivano conseguenze se non lessicali. Un peso massimo ha una massa muscolare notevole, ma nessuno ha mai letto sul giornale sportivo, scambiando massa con peso, che il pugile di cui sopra appartiene alla categoria delle masse massime e ha un peso muscolare notevole.

1. DEFINIZIONE DI MASSA

     Una definizione di massa non rigorosa ma utile da un punto di vista intuitivo è la seguente: “massa di un corpo è la quantità di materia che lo costituisce”. Dalla definizione si evince che la massa è una grandezza invariabile, caratteristica del corpo che viene preso in esame. Per essere più precisi facciamo notare che ogni corpo contiene un numero ben preciso di atomi che non varia spostando semplicemente il corpo da un luogo ad un altro. Il peso di un corpo invece varia a seconda del luogo in cui viene misurato.

   Il peso dipende infatti dalla forza gravitazionale che agisce in misura diversa a seconda del posto in cui il corpo si trova. Su questa Terra un corpo è attratto con una certa forza quindi ha un certo peso ma ad esempio sulla Luna lo stesso corpo verrebbe attratto con una forza minore quindi peserebbe di meno e nello spazio distante, dove la forza gravitazionale è trascurabile, galleggerebbe, quindi non peserebbe affatto, ma la sua massa in tutti questi luoghi diversi sarebbe sempre la stessa.

    Vediamo ora di dare di massa una definizione più completa e rigorosa. Cominciamo allora col dire che la massa esprime l’inerzia al moto di un corpo, ossia la sua attitudine a opporsi a variazioni del proprio stato di quiete o di moto. Tutti noi abbiamo esperienza del fatto che quanto maggiore è la massa di un corpo tanto maggiore è la forza che dobbiamo esercitare su di esso per spostarlo o, se si sta muovendo, per fargli cambiare velocità e direzione. Immaginiamo di spingere il carrello della spesa su una superficie orizzontale in cui l’attrito è trascurabile, ebbene, in tal caso, osserveremmo che la resistenza che esso offre alla spinta è dovuta esclusivamente alla sua massa: più lo si riempie, maggiore è lo sforzo che dobbiamo fare per muoverlo. Un corpo sul quale agisce una forza F, subisce un’accelerazione direttamente proporzionale a F; se ad esempio la stessa forza agisse su due oggetti di massa diversa, entrambi inizialmente in riposo, le velocità risultanti sarebbero anch’esse diverse. La forza che agisce sul corpo è proporzionale all’accelerazione a che esso subisce e ad una costante di proporzionalità k detta massa inerziale (m_in) del corpo. La relazione che lega queste grandezze è pertanto la seguente:

 F = k · a = m_in · a

     La massa oltre che rappresentare l’inerzia che un corpo manifesta nel mettersi in moto o nel cambiare velocità se è già in movimento, può essere definita anche come un’entità che risente della forza di gravità. Come ben sappiamo, la forza di attrazione gravitazionale fra due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa. La relazione, nota come legge della gravitazione universale, è dovuta al genio di Newton, e può essere riassunta e precisata mediante la seguente relazione matematica:

         m₁ · m₂
F = G ––––––––
        r²

dove F rappresenta l’intensità della forza di reciproca attrazione di due corpi di massa m₁ e m₂, r la loro distanza e G una costante di proporzionalità che, se si usano le unità di misura del Sistema Internazionale, ha un valore numerico pari a 6,67 · 10^-11. 

    Il fatto che la forza gravitazionale sia direttamente proporzionale al prodotto delle masse a confronto spiega il motivo per il quale essa è particolarmente intensa se almeno una delle due masse è molto grande. Ciò è esattamente quello che si verifica nell’attrazione del mio corpo da parte della Terra. La forza con cui una piccola massa come la mia è attratta verso il centro della Terra è determinata dalla enorme massa del pianeta. Se il pianeta che mi “tira per i piedi” fosse più piccolo di quello che è, l’attrazione sarebbe minore. Quindi, per determinare il valore di una certa massa, la si dovrebbe pesare. Nel caso della nostra Terra la forza attrattiva (F) che subisce un corpo è detta massa gravitazionale del corpo ed è espressa dalla seguente relazione:

 F = m_gr · g

 dove m_gr è la massa del corpo in esame e g l’accelerazione di gravità relativa al punto in cui è stata eseguita la misurazione. La massa gravitazionale si può misurare con una stadera (bilancia con un solo piatto e un lungo braccio graduato lungo il quale scorre un peso costante) un tempo usata al mercato rionale per pesare frutta e verdura, oppure con una bilancia a due piatti. Dovunque si faccia la pesata con bilance del genere le indicazioni sarebbero sempre le stesse perché, a dispetto del nome, la bilancia a due piatti (ma anche la stadera) misura, per confronto, la massa del corpo in esame e non il suo peso.   

    Nel primo caso che abbiamo analizzato si parla di massa inerziale (m_in), nel secondo caso di massa gravitazionale (m_gr): una distinzione che ha un significato solo teorico in quanto è superata dal principio di equivalenza. Sono state infatti eseguite misurazioni via via sempre più accurate, le quali dimostrano che non esiste alcuna differenza fra i due tipi di massa. Massa inerziale e massa gravitazionale quindi coincidono.

    Per una comprensione più profonda del disaccordo fra le due varietà di massa ricorriamo ad un esperimento concettuale. Immaginiamo allora un ipotetico osservatore chiuso all’interno di un ascensore privo di aperture in cui è posta una bilancia pesa persone del tipo di quelle che si trovano in molte case. Se l’osservatore sale sulla bilancia leggerà il proprio peso che è la forza con cui egli è tirato verso il basso. L’osservatore però non è in grado di stabilire se questa forza sia dovuta al fatto che l’ascensore è fermo a pianoterra oppure si muove di moto uniformemente accelerato verso l’alto con un’accelerazione pari all’accelerazione di gravità sulla Terra. Nel primo caso agisce la massa gravitazionale nel secondo la massa inerziale. Per misurare il peso del nostro ipotetico osservatore rinchiuso nell’ascensore, non a caso abbiamo usato una bilancia di uso casalingo che in effetti è un dinamometro, ossia uno strumento adatto per misurare forze attraverso la maggiore o minore compressione di una molla contenuta all’interno.

    L’identità fra le due specie di massa verificata sperimentalmente per qualunque corpo non ha avuto una spiegazione teorica fino all’avvento della teoria della relatività generale di Einstein. E infatti fu proprio questo uno dei più importanti indizi che aprirono la via allo sviluppo della teoria relativistica, poiché un’ipotesi cruciale della nuova teoria è che la massa inerziale e la massa gravitazionale siano esattamente equivalenti.

    L’altra teoria della relatività, quella ristretta, ha anch’essa un’importante conseguenza derivante dal fatto che se ad un corpo materiale che si muove ad una velocità prossima a quella della luce si continua a fornire energia, questa si trasforma quasi interamente in massa secondo la nota equazione E=mc², mentre solo una piccola parte di essa va ad incrementare la velocità del corpo. Nei fenomeni della vita comune le velocità in gioco sono molto piccole rispetto a quella della luce e pertanto non si nota alcun cambiamento di massa dei corpi in movimento.

2. DEFINIZIONE DI PESO

     La forza di gravità della Terra attira sia i corpi lontani, come la Luna , sia quelli vicini. Questi ultimi si trovano ad una distanza di circa 6.371 kilometri dal centro della Terra e si può dimostrare che, dal punto di vista della gravitazione, una sfera omogenea attira i corpi esterni come se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro. Quando la forza di gravità agisce sui corpi posti sulla superficie terrestre questa prende il nome di forza peso, o semplicemente peso. La forza (F) cui è soggetto un corpo posto in prossimità della superficie della Terra è legata alla massa del corpo stesso (m) e all’accelerazione di gravità (g) dalla relazione F=m·g, già menzionata, che ora possiamo scrivere nel modo seguente:

                                                                                 P=m·g

     La forza peso (P) associata ad un determinato corpo varia da luogo a luogo, in quanto l’attrazione gravitazionale (g) non è rigidamente costante su tutta la superficie terrestre. La differenza però è minima e una comune bilancia non è in grado di registrarla. Al livello del mare e alla latitudine di 45° ci troviamo, come abbiamo detto, a circa 6.371 kilometri dal centro della Terra e in quel punto g vale circa 9,8 m/s². Vi sono piccole variazioni di peso per i corpi che si trovano sulla superficie terrestre che diminuisce se si passa dai poli all’equatore e se si sale in montagna. Trattandosi di una forza, il peso dovrebbe essere espresso in newton e in effetti nel Sistema Internazionale l’unità di misura della forza è il newton. La massa invece, nel Sistema Internazionale, si misura in kilogrammi.

    Appare dunque evidente che le due grandezze sono completamente differenti tuttavia nascono spesso equivoci e confusioni dovuti al fatto, come abbiamo già rilevato, che un corpo massiccio ha anche un grande peso. A complicare le cose si aggiunge la pratica che nell’uso quotidiano il peso viene misurato in kilogrammi. Quando la massaia va a comprare il pane metterebbe in difficoltà il negoziante se ordinasse 9,8 newton di pane anziché il solito kilo.

    L’unità di misura della massa, come abbiamo detto, è il kilogrammo (per non confonderlo con il peso lo si chiama a volte kilogrammo-massa) che corrisponde alla massa di un cilindro di platino-iridio conservato nell’Ufficio Internazionale dei pesi e delle misure di Sèvres, vicino a Parigi. Quanto pesa questo campione di massa? Un kilogrammo-massa è equivalente a un kilogrammo-peso misurato in un luogo dove l’accelerazione di gravità è esattamente g=9,80665 m/s².

    Il peso non è una caratteristica di ciascun corpo, come la massa, ma rappresenta semplicemente l’azione che su di esso si viene ad esercitare in conseguenza della sua posizione rispetto ad altri corpi. La legge di gravitazione universale consente di chiarire definitivamente la differenza tra i concetti di massa e di peso. Abbiamo visto che il peso di un corpo di massa m vale su questa Terra m · g. D’altra parte, indicando con M la massa della Terra possiamo anche scrivere:

                                                                                           m ·  M
                                                                                                      P = G ––––––     
                                                                                               r²

      Confrontando l’equazione scritta sopra con P = m · g, si ottiene:

                                                                                              M
                                                                                                        g = G ––––          
                                                                                                                       r²  

 da cui si può notare che l’accelerazione di gravità (g) dipende dalla massa della Terra (M) e diminuisce se ci si allontana dal suo centro (r è il raggio terrestre). Ne consegue, come abbiamo fatto notare, che essa varia, sia pure di poco, con l’altitudine e con la latitudine essendo la Terra leggermente schiacciata ai poli (il valore di 9,8 m/s² fornito in precedenza deve essere considerato come una media dei valori di g nei diversi punti della superficie terrestre). Anche il peso di un corpo, quindi, varierà da un luogo ad un altro del nostro pianeta: se ad esempio si andasse in cima al Monte Bianco non si perderebbe più di alcune decine di grammi di peso (molto di meno di quello che si perderebbe per lo sforzo fisico conseguente alla scalata). Naturalmente varierà in modo significativo se ci trovassimo su di un altro corpo celeste: sulla Luna il sottoscritto peserebbe meno di 20 kili e su Giove quasi due tonnellate.

3. RELATIVITÀ E MECCANICA

    La meccanica classica rimane valida per le piccole velocità mentre deve essere sostituita dalla teoria della relatività quando si tratta di interpretare i movimenti di oggetti che viaggiano a velocità prossime a quella della luce. Esaminiamo qualche esempio concreto relativo ad alcune modificazioni che la teoria della relatività ha introdotto nella meccanica classica. Ciò ci porterà a conclusioni suscettibili di venire accettate o ripudiate dall’esperimento.

    Immaginiamo quindi un corpo di massa definita in moto rettilineo e uniforme, sollecitato da una forza esterna che abbia la stessa direzione del moto. Secondo quanto previsto dalla meccanica classica la forza occorrente per produrre, entro uno stesso intervallo di tempo, la stessa accelerazione ad esempio di un kilometro al secondo su di un corpo che procede alla velocità di 100 kilometri al secondo o su di un altro che viaggia a 280.000 kilometri al secondo è la stessa. La teoria della relatività prevede invece che per accrescere la velocità di un kilometro al secondo su corpi che procedono a velocità molto prossime a quella della luce non sia la stessa che si osserva sui corpi più lenti. Quanto più una velocità si avvicina a quella della luce tanto più difficile è accelerarla e se la velocità del corpo in esame uguagliasse quella della luce sarebbe impossibile accrescerla ulteriormente. Ciò non deve destare meraviglia in quanto sappiamo che la velocità della luce è il limite massimo per tutte le velocità.

   Abbiamo anche visto che qualsiasi corpo oppone resistenza ad un mutamento del suo moto e che quanto maggiore è la sua massa tanto più forte è la resistenza. Abbiamo visto altresì che la teoria della relatività completa ed amplia le osservazioni relative a questi fenomeni. Essa non solo spiega il significato della uguaglianza fra massa inerziale e massa gravitazionale come un fondamentale indizio che conduce ad una più profonda comprensione della teoria della relatività generale, ma altresì che quanto più velocemente viaggia un corpo tanto più aumenta il suo peso per l’aggiunta ad esso, sotto forma di massa, di parte dell’energia utilizzata per spingerlo.

     La teoria della relatività ci dice al riguardo qualcosa di più. La resistenza che i corpi oppongono ad un mutamento del loro moto è tanto più forte non soltanto quanto maggiore è la loro massa a riposo, ma anche quanto maggiore è la loro velocità. Secondo la meccanica classica la resistenza che un corpo oppone al mutamento del suo stato di quiete o di moto dipende esclusivamente dalla sua massa, ma la teoria della relatività ci dice invece che la resistenza che i corpi oppongono ad un mutamento è tanto più forte non soltanto quanto maggiore è la loro massa, ma anche quanto maggiore è la loro velocità. Corpi dotati di velocità vicine a quella della luce opporrebbero resistenze enormi alle forze esterne. Siamo in grado di sperimentare quanto afferma la teoria della relatività? Disponiamo di proiettili aventi velocità prossime a quelle della luce utili per verificare quanto afferma la teoria? In realtà è la natura stessa che ci offre corpuscoli che viaggiano a velocità di quest’ordine di grandezza.

    Gli atomi della materia radioattiva si comportano come artiglierie capaci di sparare proiettili dotati di velocità enormi. Quando un atomo radioattivo, per esempio l’atomo di radio, si disintegra, espelle alcune delle particelle elementari che lo compongono dotate di grandissime velocità, vicine a quelle della luce. Mediante esperimenti assai complicati e ingegnosi è stato possibile accertare l’entità della resistenza che le particelle elementari in moto oppongono all’azione di una forza esterna. Gli esperimenti provano che la resistenza offerta dalle particelle dipende soprattutto dalla loro velocità, come previsto dalla teoria della relatività. In vari altri esperimenti dello stesso tipo si è notata la stessa cosa ovvero che vi è accordo completo fra teoria ed esperimento.

     La teoria della relatività ha scoperto che l’energia, in tutte le sue forme, si comporta come la materia: un pezzo di ferro caldo pesa di più dello steso pezzo di ferro freddo; e ancora, che il Sole, e le altre stelle, emettendo energia, perdono massa. La fisica classica aveva individuato due entità distinte: materia ed energia, la prima dotata di peso, la seconda priva di peso. In fisica classica si avevano pertanto due leggi di conservazione, l’una per la materia, l’altra per l’energia. Dopo la formulazione delle leggi relativistiche di Einstein non vi è più alcuna differenza fra massa ed energia e le leggi di conservazione si sono ridotte ad una sola: la legge di conservazione della massa-energia.

     Ora è da chiedersi come mai il fatto che l’energia possiede massa e che la massa rappresenta energia sia rimasto tanto a lungo all’oscuro. La risposta sta nella osservazione che la teoria della relatività prevede un rapporto di scambio fra materia ed energia talmente piccolo che non può venire accertato direttamente neanche con le bilance più sensibili. Tuttavia la prova che energia possa derivare direttamente dalla materia può raggiungersi attraverso metodi indiretti. È stato calcolato ad esempio che l’energia che scaturisce da un solo grammo di materia che si trasforma completamente in energia ne produce l’equivalente della combustione del carbone che riempie i vagoni di un lunghissimo treno.

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