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KARL FRIEDRICH GAUSS E LA DATA DELLA PASQUA

    Ecco un esempio di calcolo della data della Pasqua proposto dal matematico e astronomo tedesco Karl Friedrich Gauss (1777-1855) valevole per gli anni compresi fra il 1900 e il 2099.

    Si divide l’anno di cui si vuole conoscere la data della Pasqua per 19, per 4 e per 7. Siano rispettivamente “a”, “b” e “c” i resti delle tre divisioni. Si consideri quindi il parametro fisso “m” = 24 al quale si aggiunga il prodotto (19 x a) e si divida il totale per 30; sia “d” il resto di tale divisione. Si prenda ora in considerazione un secondo parametro fisso: “n” = 5. Si calcoli quindi l’espressione 2b + 4c + 6d + n e la si divida per 7; sia “e” il resto di tale divisione. Infine, il giorno della Pasqua è dato da 22 + d + e. Se il risultato che si ottiene è inferiore a 31, esso rappresenta la data della Pasqua che cade in marzo, se supera 31 si toglie tale valore dal totale e si ottiene la data della Pasqua che cade nel mese di aprile.

    Il metodo è molto macchinoso, ma alla fine porta a un risultato preciso. Facciamo un esempio concreto calcolando la data della Pasqua del nuovo anno, il 2012. Dividiamo quindi 2012 prima per 19 e otteniamo 105 con il resto di 17, poi per 4 e otteniamo 503 senza resto e infine per 7 e otteniamo 287 con il resto di 3. Avremo quindi, come primo risultato a = 17, b = 0 e c = 3. Risolviamo quindi l’espressione (24 + 19xa) : 30, ovvero (24 + 19x17) : 30 che dà per risultato 11 con il resto d = 17. Procediamo poi alla soluzione della seconda espressione prevista da Gauss: (2b +4c +6d + n) divisa per 7, ossia (2x0 + 4x3 + 6x17 + 5) : 7; si ottiene 17 con il resto e = 0. Infine la somma (22 + d + e) ossia 22 + 17 + 0 fissa la data della Pasqua la quale, essendo il risultato della somma (39) maggiore di 31, cadrà in aprile e precisamente il giorno 8.

     Karl Gauss, considerato da alcuni come “il più grande matematico della modernità”, fin da bambino aveva dimostrato una genialità sorprendente. Si racconta che un giorno il maestro della classe frequentata dal piccolo Karl propose un problema di aritmetica al fine di tenere occupati i bambini, piuttosto turbolenti, per lungo tempo. Il problema consisteva nel calcolare la somma dei numeri da uno a cento. La ricerca in effetti era lunga e noiosa: uno più due fa tre, tre più tre fa sei, sei più quattro fa dieci, dieci più cinque fa quindici e così avanti fino a cento.

     Dopo pochi minuti il piccolo Karl si presentò al maestro con la soluzione: 5.050. Il maestro non credette ai propri occhi quando lesse quel numero e, convinto che lo stesse prendendo in giro, rimproverò severamente lo scolaro. Dove hai trovato quel numero? Te lo sei inventato? Il bambino, che era in buona fede, tentò di convincere il maestro che quel valore era frutto di un calcolo rigoroso, ma non ci fu verso. Il maestro, una volta a casa, perdendo molto tempo, fece egli stesso la somma dei cento numeri ottenendo effettivamente il risultato che il bambino gli aveva presentato dopo pochi minuti di lavoro.

    A questo punto, se qualcuno non c’è arrivato da solo, è necessario spiegare in cosa consista il calcolo fatto dal piccolo Karl. Egli mise in fila tutti i numeri da uno a cento, poi, in corrispondenza, su una riga inferiore, gli stessi numeri in ordine decrescente, da cento a uno, nel modo seguente:  

   1,    2,    3,    4,  …   97, 98, 99, 100.

100,   99,  98,  97,  …    4,   3,   2,    1.

    Quindi, sommando ciascun numero della riga superiore con il corrispondente numero della riga inferiore, si ottiene sempre lo stesso risultato: 1+100, 2+99, 3+98 … fanno sempre 101. La somma complessiva delle somme parziali scritte sopra si ottiene moltiplicando 101 per 100 che fa 10.100. Questo valore rappresenta però il doppio della somma dei numeri da uno a cento. Dividendo quindi 10.100 per due si ottiene 5.050 che rappresenta il valore che il piccolo Gauss aveva presentato al maestro.  


 
 PS.  Per completezza di informazione è opportuno segnalare una formuletta facile facile che mi è stata suggerita da un mio ex alunno per risolvere il problema in due battute. La formuletta è la seguente: si sommano il primo e l’ultimo termine della serie continua di numeri interi di cui si vuole conoscere la somma quindi si moltiplica il risultato per la lunghezza della serie e infine si divide il totale per due.

     Facciamo un esempio relativo alla somma dei numeri da uno a cinque che fa quindici. Lo stesso risultato si ottiene applicando la formula segnalata sopra: si somma 1a 5 che fa 6 si moltiplica 6 per 5 e si ottiene 30 che divisi per 2 porta al risultato finale di 15. La formuletta vale per qualsiasi serie continua di numeri interi, per esempio 16, 17, 18 e 19, la cui somma fa 70. In breve, applicando la formula: si somma 16 al 19 e si ottiene 35, si moltiplica quindi il risultato per quattro e infine si divide per due.

 fine