Dividere per zero

Qualsiasi numero può essere diviso per qualsiasi altro numero, tranne quando il numero per cui vogliamo dividere è lo zero. In matematica la divisione per zero è un’operazione proibita. Se si prova a dividere per zero, vengono fuori risultati folli. É possibile perfino dimostrare che 1 = 2. Prima di illustrare il procedimento che porta a quel risultato dobbiamo mostrare una convenzione molto diffusa in matematica. Si tratta del fatto che un numero qualunque si può rappresentare per mezzo di una lettera dell’alfa­beto. Di solito si usano le prime lettere dell’alfabeto (a, b, c) per quantità supposte note, mentre si usano le ultime lettere dell’alfabeto (x, y, z) per le incognite.

Si devono inoltre premettere alcuni passaggi algebrici molto semplici. Eccone alcu­ni. Se si hanno due numeri uguali, per esempio a e b, e a ciascuno di essi si aggiun­ge (o si toglie) la stessa quantità, per esempio c, si ottengono ancora due numeri uguali fra loro. Si può infatti scrivere: a+c = b+c. Inoltre, se due numeri sono uguali (i soliti a e b) e si moltiplica sia il primo che il secondo di essi per lo stesso numero, si ottengono ancora due numeri uguali fra loro. Si può pertanto scrivere: a·c = b·c.

Vediamo ora per quale motivo non possiamo dividere per zero. Vi sono delle regole a cui la divi­sione obbedisce: di solito essa si presenta come una sorta di inverso della moltipli­cazione. A quanto è uguale 6 diviso 2? A quel numero, quale che esso sia, che mol­tiplicato per 2 dia 6. Cioè 3. Quindi le due affermazioni 6:2 = 3 e 6 = 2·3 sono equivalenti dal pun­to di vista logico. E qui 3 è l’unico numero che funziona, pertanto non vi è alcuna ambigui­tà in “6:2”. Purtroppo questo approccio incorre in problemi seri quando cerchiamo di definire la divi­sione per zero. A quanto è uguale 6 diviso 0? A quel numero, quale che esso sia, che mol­tiplicato per 0 dia 6. Ma qualsiasi numero, moltiplicato per 0 dà 0; è im­possibile ottenere 6.

Veniamo ora ad illustrare il procedimento che porta a dimostrare che 1 = 2. Si parte dall’eguaglianza a = b. Si moltiplica quindi primo e secondo membro per a. Si ottiene: a² = a·b. Si sottrae poi sia a primo sia a secondo membro della nostra uguaglianza b². Il risultato è il seguente: a² – b² = a·b – b². Il binomio a² – b² si scompone in (a + b)·(a – b). Quindi possiamo scrivere: (a + b)·(a – b) = b·(a – b).

Dividiamo quindi primo e secondo membro per a – b, rimane a + b = b. Ora, poiché abbiamo premesso che b è uguale ad a, possiamo scrivere 2 a = a e quindi 2 = 1. L’errore che ab­biamo commesso è stato quello di dividere per (a – b) che è una grandezza uguale a zero. 6:0 è quindi un’operazione impossibile ma alcuni, in particolare coloro che hanno approfondito la materia, dicono che fa infinito. In realtà non è 6:0 che fa infinito ma il limite per x tendente a zero di 6:x che tende ad infinito. Se infatti il denominatore della frazione 6/x lo si fa diventare sempre più piccolo la frazione diventa sempre più gran­de: 6/6 fa 1; 6/3 fa 2; 6/2 fa 3; 6/1 fa 6; 6/½ fa 12, e via dicendo fino al punto che, quando il denominatore diventa praticamente zero, il valore della fra­zione di­venta praticamente infinito. Rimane ancora da stabilire quanto fa 0:0. Molto semplice: quel numero che moltiplicato per zero dà 0; ma qualsiasi numero, moltiplicato per zero, dà 0, quindi il risultato di una si­mile divisione è indeterminato: vale qualsiasi numero. É chiaro invece il valore di 0:6 in quanto il numero che moltiplicato per 6 dà per risultato 0 è proprio lo zero e solamente lo zero stesso.

Prof. Antonio Vecchia

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